AFO 了，也该 whk 了。
然后发现自己圆锥曲线那一块差的要命，主要问题是不像其它知识有一些较超前的，更为本质的认识，所以去搜索了相关资讯后，总算用一些射影几何的内容搞懂了高考圆锥曲线的一些诸如点差法，齐次化的基本方法的本质是啥。
由于 OI 写博客的习惯可拓展到各类学习，于是有了这篇文章。
射影空间的一些基础概念
点：给原本在欧氏平面下的点坐标 (\frac{x}{z},\frac{y}{z}) 添加一维 z ，即 (x:y:z) ，显然，所有 x:y:z 相等的坐标表示同一个点，并且这种表示方式可以便利的表示无穷远点，即 z=0 时。这种坐标被叫做点的齐次坐标。
线：在欧氏平面下一条线的一般方程是 Ax+By=1 ， A,B 不全为 0 。那么点线都放到齐次坐标下，就变成了 Ax+By+Cz=0 ，线可以类似地用 (x:y:z) 的坐标来表示，那么无穷远直线就是 z=0 的时候的直线。
一些无关的乱想：
从这里似乎可以看出点和线有一些对偶的性质，想起来初中看过的一本书《数学是什么》里面有提到射影几何中一些共点共线的定理总是成双出现的，现在好像有些理解了。另外感觉这个好像还能拓展到更高维的版本？
交比：有四个共线的点 A,B,C,D ，那么称
\frac{\; \frac{AC}{AD} \;}{ \frac{BC}{BD} }
是点列 (AB,CD) 的交比。交比有射影变换下的不变性，也就是说若AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 交于一点，那么 (AB,CD) 的交比和 (A_1B_1,C_1D_1) 的交比相等。而由它的不变性，也能推出 AA_1,BB_1,CC_1,DD_1 交于一点（射影点）。（若对应点重合则认为方向任意）
调和点列：最开始是初中在小蓝本里看到的，说是有四个共线的点 A,B,C,D ，若满足
\frac{\; \frac{AC}{AD} \;}{ \frac{BC}{BD} }=-1
则称 C,D 调和分割 A,B ，(AB,CD) 就是调和点列，注意上式均为有向线段。
平移齐次化的本质
经常能在高考题中遇到这样的问题：有一个椭圆（其他二次曲线差不多） T:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0) ，设 A 是一个定点 (x_A,y_A) ，然后椭圆上有两个点 B,C ，然后给了个 k_{AB},k_{AC} 的和积关系云云，最后要求证明直线 BC 过定点。
先来看看正常做法： 设 B(x_1,y_1),C(x_2,y_2),BC:x=ky+t ，联立 BC 和 T 得到一个方程，就是消掉 x 或 y 其中之一，然后韦达搞出 x_{1/2},y_{1/2} 的各种和积式的关于 k,t 的表达式，然后各种组合弄出题目给出的和积关系求出 k,t 关系，最后算出 BC 的定点，证毕。然后就会发现在韦达后就算不动了，因为搞出 x_{1/2},y_{1/2} 的各种和积式形状真是千奇百怪的分数，然后带入题目的和积关系得到的式子又臭又长，虽然最终化简后一般是简单的。
某天，我们的数学老师传授了一个神奇的方法：平移齐次化，具体是这样的：
将原点平移至 (x_0,y_0) ，也就是将 A 作为新系原点，那么 T 变为 \frac{(x+x_0)^2}{a^2}+\frac{(y+y_0)^2}{b^2}=1 ，将它化开，可以得到 Ox^2+Py^2+Qx+Ry+S=0 的一个二元二次曲线的形式，然后再新系下设 BC:mx+ny=1 ，乘到 T 的一次项中，就是：
Ox^2+Py^2+Qx(mx+ny)+Ry(mx+ny)+S=0
令 k=\frac{y}{x} ，两边同时除以 x^2 ：
(P+Rn)k^2+(Qn+Rm)k+S+(O+Qm)=0
然后就可以用韦达轻轻松松的搞出题目给的斜率条件，得到 m,n 的关系，把定点搞出来，再平移回原系即可。
超级懵逼？！谁想出来的这个方法？！这特么也太人类智慧了吧？！
仔细想想，刚刚其实只干了两件事，一：平移，二： 做 “1” 的代换齐次化。
然后第一条其实是好理解的，在平常情况下使用椭圆中心做原点的原因有二
- 解析式好看，简洁
- 有可以利用的中心/轴对称性（好像概括了第一条？
而在这个题目中根本用不到对称性，而且在正常坐标系下还会是 k_{AB} 和 k_{AC} 的分子分母带上不必要的常数，这就加重了化简的负担，所以就会想到平移（其实也能看成换元）从而消去常数。
至于第二点，实际上在了解了一点射影几何的知识后就会明白，把 mx+ny=1 做 “1” 的代换这件事本质就是消去了 z 这个参数：考虑齐次坐标下的 T 和 BC 的解析式：
\begin{aligned}
T&:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\\
BC&:mx+ny+lz=0
\end{aligned}
那么联立 T,BC 就是 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=(\frac{mx+ny}{l})^2
只不过平常情况下我们可以令 z=1，l=-1 。
这样看来这个方法显得并不那么人类智慧了。
极点和极线
这就对应着另一类问题，仍以椭圆举例：
有一个椭圆 T:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0) ， E,F 为其左右端点，有一直线 AB， AE\;\cap\;BF=G，然后已知 AB 过定点求证 G 在定直线上，或者反过来已知 G 在定直线上证明 AB 过定点。
这里就简单介绍一下一些极点极线的定义和结论，我认为对高考来讲只需感性理解即可。
极点和极线：假设有一点 O ，有一条过 O 的直线 l ，交椭圆于 L,N ，有一点 M 满足L,N 调和分割 O,M ，那么随着 l 的旋转，由神秘推导 M 的轨迹会形成一条直线 s ，那么 s 就是 O 对该椭圆的极线， O 就是 s 对该椭圆的极点。
配极原则：由神秘证明，若 A 在 B 的极线上，那么 B 也在 A 的极线上。上图的 O 和 M 就是一个例子。
有了这些结论，就可以回答这个问题了，先添加几条线：
（这个图重画了一下，可能有些字母不大一样）
作 I,H 使得 (HF,AE),(IF,DB) 是调和点列，由交比的不变性可知 G 是由 (HF,AE) 变换到 (IF,DB) 的射影点，所以 IH 过 G ，且 IH 就是 F 的极线。
诶，那这就可以用配极原则了，所以 F 也在 G 的极线上。如果 G 为定点，那么其极线也为定直线，也就证明了 F 在定线上了，反过来也是一样。
不过这个证明高考不能用，但是心里明白后就可以用交比为 -1 先光速求出定点/定直线，然后联立韦达写一堆不化简的式子扔给改卷，最后注意到求出的定点/定直线满足要求，岂不美哉？
如果你的要求更进一步，想要了解一些结论的推导，推荐去看B站up泰勒猫爱丽丝的“高考不能用”合集的圆锥曲线系列。