这周不去研学，待在教室里板刷了八套数学卷，发现了一道有意思的题。
题目大意
有双曲线 C:x^2-y^2=2 ，设 A 为其左顶点，D(0,\sqrt{2}) ， M 在左支上， N 在 C 右支上，且 M,A,N 三点不共线， AD 平分 \angle MAN ，求证： MN 过定点。
答案做法
很经典，因为平分线的缘故， AM 和 AN 斜率积为 1 ，那么设 MN:y=kx+t, M(x_1,y_1),N(x_2,y_2) 。
联立 MN,C ：
有 (1-k^2)x^2-2ktx-t^2-2=0， \Delta 一通乱算 >0 ，然后韦达： x_1+x_2=\frac{2kt}{1-k^2},x_1x_2=-\frac{t^2+2}{1-k^2} 。
然后表达斜率积为 1 这个条件又是一通乱算得到 (k^2-1)(-\frac{t^2+2}{1-k^2})+(kt-\sqrt{2})\frac{2kt}{1-k^2}+t^2-2=0 ，于是 t=0 或 t=\sqrt{2}k。
t=\sqrt{2}k 这个 M,A,N 三点共线了，舍掉，剩个 t=0 ，那就是恒过 (0,0) 。
想法很简单，但算起来是真麻烦，所以我一开始就没打算这么干。
我的做法
先扯点别的，之前某一次周测最后一题也有一个等轴双曲线，当时看到 x^2-y^2 条件反射平方差出 (x+y)(x-y) ，突然灵机一动，如果把 (x+y),(x-y) 看成新坐标系下的 x,y 会怎样呢？然后就想到 OI 里有个 trick ：曼哈顿距离转切比雪夫距离好像也是类似这样干的，本质貌似是做了个平面旋转，再一想 x^2-y^2=1 转个 \frac{\pi}{4} 跟 xy=1 挺像的，和 (x+y)(x-y) 的形式也差不多。但这个东西在第二问还比标答简单一点，第三问完全没用。
但是这个技巧放到这题就有用了。先给出逆旋 \theta 的公式：
设 (x,y) 在新系下点坐标为 (x',y') ，那么
知 (x',y') 求 (x,y) 只要同样旋 -\theta 就行了。
那么这题直接将平面逆旋 \frac{\pi}{4} 再放大 \sqrt{2} 倍（当然不放大也无所谓，带着 \sqrt{2} 也没有多难算），那么 C 变为 xy=2 ， DA 就是直线 x=-\sqrt{2} ，此时设 M(x_0,\frac{2}{x_0}),N(x_1,\frac{2}{x_1}),x_0<0,x_1>0 ，作 \operatorname{Rt}\triangle MT_1A,\operatorname{Rt}\triangle NT_2A ，且这俩的所有直角边都平行于坐标轴，就是这样：
（这里只看 M 在 A 上方的情况，在下方不是同理一下就好了吗。。。但是相似式子最后是一样的！
因为 AD 平分 \angle MAN ，所以很容易得出 \triangle MT_1A \backsim \triangle NT_2A ，由相似比得 \frac{\frac{2}{x_0}+\sqrt{2}}{-\sqrt{2}-x_0}=\frac{\frac{2}{x_1}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+x_1} 。
这个式子太对称了，化简和因式分解都超舒服：
有 x_0=-x_1 或 x_0=-\sqrt{2} 或 x_1=-\sqrt{2} ，显然后两个因为 x_1>0 和 M,A,N 三点不共线被 ban 了，那只能是 x_0=-x_1 啦，这里一眼就能看出 MN 过原点。（变换回来仍是原点）