快回老家了，闲来无事遇到了一些有趣的小问题，作为活跃思维的小菜还是挺好的。
\pi^e 和 e^\pi 谁大？
这题是和同学讲批话时想到的。
主要体现了一个统一形式的想法，先说结论 e^\pi> \pi^e ，下面证明它。
即证：e^{\frac{1}{e}}>\pi^{\frac{1}{\pi}}
分析一下增减性：对 x^{\frac{1}{x}} 求导得 x^{\frac{1}{x}}\frac{1-\ln x}{x^2} ，求一下极值点发现也就 x=e 的时候行，再求个二阶导发现这是极大值，结论得证。
求 3^{2026} 十进制下的后四位
在 b 站上刷到的，看视频的做法是一个二项式蜜汁展开，评论区里全是快速幂硬算和“注意到”，其实结合一点数论可以很快得到一个好想且手算也简单的做法。
由欧拉定理：3^{\varphi(10^4)} \equiv 3^{10^4\cdot (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})}\equiv 3^{4000}\equiv 1 \;(\bmod \;10^4)
故 3^{2000}\equiv 1 或 -1\;(\bmod \;10^4)
同样由欧拉定理：3^4\equiv 1\;(\bmod \;10) 可知 3^{2000}\equiv 1\;(\bmod \;10)
那么 3^{2000}\equiv 1\;(\bmod \;10^4)
接下来只需用手动快速幂计算 3^{26}\equiv 9^{13}\equiv 81^{6}\cdot 9\equiv 6561^{3}\cdot9 \equiv 8329\;(\bmod \;10^4)
嵌套
- f(f(x))=x^2-x+1 ，求 f(0)
先把 x=0 代一发再说： f(f(0))=1
然后看到这种嵌套就手痒求了个不动点，x=1 ，此时 f(x)=1 或 0
当 f(1)=0 时：再套一层 f ，f(f(f(0)))=0=f^2(0)-f(0)+1 ， f(0) 无解。
当 f(1)=1 时：f(f(f(0)))=1=f^2(0)-f(0)+1 ，得 f(0)=0 或 1 。又因为 f(f(0))=1 可知 f(0)=1 。
幂塔方程引发的小思考
起因是随机跳到一道黑，显然我不会做（
但是对这个幂塔起了兴趣：
先对重幂下个定义：
那么原问题就是求解方程 \lim_{n\rightarrow \infty} {^n}x=2 。
看似可以用比较初等的方法得出解（不知道严谨性如何）：
原方程等价于 \lim_{n\rightarrow \infty} {^n}x=x^{\lim_{n\rightarrow \infty} {^n}x}=x^2=2 ，解得 x=\sqrt 2 。
这里同时也能看出数列 \{{^n}[\sqrt 2]\} 是收敛的，然后我就开始好奇在收敛的前提下 x 最大能是多少呢，毕竟像 \{{^n}2\} 的话就是发散的。
设 \lim_{n\rightarrow \infty} {^n}x=x_0 （其实 x_0 也是数列 \{{^n}x\} 的不动点），如法炮制可得 x^{x_0}=x_0 ，也就是要求方程 a^x=x 有恰有一个解，此时的 a 就是所求的最大值。
其实就是找到一个底数最大的指数函数与直线 y=x 相切。
这个其实也很好找，设切点为 (x_0,a^{x_0}) ，求个导有 a^{x_0}\ln a=1 ，即 x_0=-\frac{\ln\ln a}{\ln a} ，那么切点就是 (-\frac{\ln\ln a}{\ln a},\frac{1}{\ln a}) ，又因为 y=x 过 (0,0) ，所以 \frac{\frac{1}{\ln a}-0}{-\frac{\ln\ln a}{\ln a}-0}=1 ，解出 a=e^{\frac{1}{e}} 。
嗯？ e^{\frac{1}{e}} 看上去有点熟悉？貌似比 \pi^{\frac{1}{\pi}} 大来着？同时还是 x^{\frac{1}{x}} 的最大值来着？
其次分式
出现在神人自造的 gal 选项里（依旧 b 站刷到的），题本身没啥意思。
- a>b>0 ， 求 [\frac{a^2+b^2}{ab-b^2}]_{\min} .
其次啊，那就只关注 a,b 的相对大小的影响，设 x=\frac{b}{a} ，那 x \in (0,1) ，那原式就是 \frac{x+x^{-1}}{1-x} ，随便化简得 -1-\frac{1}{x+1+\frac{2}{x+1}-3} \geq 2+\sqrt 2
神秘求极值
- x^2+y^2+xy=1 ，求 [2x^2+y^2]_{\max}
长这种的，一般都先考虑做一些蜜汁换元把条件等式搞得简单一点，这里的条件里有个难看的 xy ，考虑把它搞掉。随便配一下有 \frac{3}{4}x^2+(y+\frac{1}{2}x)^2=1 ，然后就能三角换元： x=\frac{2}{\sqrt 3}\sin t ， y=\cos t-\frac{1}{\sqrt 3}\sin t ，这样一来，极值就很好求了：
其实第一眼看到 xy 还有另一条路， xy 可以跟旋转或是平方差扯上关系，所以 x^2+y^2+xy=1 长的就像一个旋转的椭圆（虽然后续做法用不上椭圆的性质），一般情况下直接待定系数求旋转系数还挺麻烦的，但是这个柿子这么对称一看就知道旋转 \frac{\pi}{4} 肯定没毛病，那么令 x\leftarrow \frac{x-y}{\sqrt 2},\;y\leftarrow \frac{x+y}{\sqrt 2} ，原问题变成：\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=1 ，求 [\frac{3}{2}(x^2+y^2)+xy]_{\max}
直接把 \frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}=1 除到 \frac{3}{2}(x^2+y^2)+xy 分母上，有 \frac{3}{2}(x^2+y^2)+xy=\frac{\frac{3}{2}(x^2+y^2)+xy}{\frac{x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}} ，分子分母其次，用处理其次分式的套路就行。