高中不等式一锅端

以前从来没有重点关注过不等式这一块，到最近才发现自己解不等式压轴题的方法太过于单一，于是便去查了资料，总结一下几类解法。

其实说到不等式，在高中联系最紧密的就是最值，所以下面例子多以最值问题为主。

平均值不等式

作为高中学习的第一个不等式，平均值不等式是最为基础的，也是最为简单的。

不等式如下：

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

其中$a,b$为正实数，当且仅当$a=b$时等号成立。

常数代换法

有时题目会给出一个条件，比如 $\mathrm{式}\mathrm{子}=t$，$t$ 为一常数，然后求另一式子的最值。比如下面这个例子：

例1：已知 $\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=2$，求 $2a+b$ 的最小值。

遇到这种情况，通常会让所求乘上一个常数，再除以这个常数，这样就可以用平均值不等式解决。

比如例1，我们可以让 $2a+b$ 乘上 $2$，再除以 $2$，有

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{(2a+b)\cdot 2}{2}& =\frac{(2a+b)(\frac{3}{a}+\frac{1}{b})}{2}\text{(2)}& & =\frac{6+1+\frac{3b}{a}+\frac{2a}{b}}{2}\text{(3)}& & =\frac{7}{2}+(\frac{3b}{2a}+\frac{a}{b})\text{(4)}& & \ge \frac{7}{2}+2\sqrt{\frac{3b}{2a}\cdot \frac{a}{b}}\text{(5)}& & =\frac{7}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}\end{array}$$

所以 $2a+b\ge \frac{7}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}$. 当且仅当 $\frac{3b}{2a}=\frac{a}{b}$ 时等号成立。

例2：已知 $a^2+4b^2+a+2b=1$，求 $ab$ 的最大值

可见条件中不含有 $ab$，但观察到 $a^2+4b^2+a+2b=1$ 可以写成 $(a+2b{)}^2+(a+2b)=1+4ab$ ，可见 $ab$ 与 $a+2b$ 有关，所以直接对 $a+2b$ 进行处理，刚好这是个和式，存在最小值 $2\sqrt{2ab}$ 。所以 $1+4ab\ge 8ab+2\sqrt{2ab}$，这时就能解出 $ab$ 的最小值。

多元情况

对于多元情况，可以通过平均值不等式的推广形式解决。
推广不等式如下：

$$\sqrt[n]{\frac{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}{n}}\ge \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$$

其中 $a_i$ 为正实数，当且仅当 $a_1=a_2=\cdots =a_n$ 时等号成立。

对于要用到平均值不等式的推广形式解决的题目，一般就一个套路：我称之为”分裂”

例3：已知 $x>0$，求 $x\sqrt{1-3x}$ 的最小值。

我们不妨将 $x$ 放入根号中，即 $x\sqrt{1-3x}=\sqrt{x^2(1-3x)}$，这时将 $x^2$ “分裂”成两个 $x$，即$\sqrt{x\cdot x\cdot (1-3x)}$，然后对这三个数使用平均值不等式，即可解出。

双根式之差

对于某些双根式之差的问题，可以通过平均值不等式变式解决。
例如这个变式：若 $\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1$，则 $a-b\le (x-y{)}^2$，当 $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ 时，等号成立。(似乎有点像权方和减号版本…)

例4：求 $M=\sqrt{3m-5}-\sqrt{m-2}$的最小值

设 $\frac{3m-5}{a}-\frac{m-2}{b}=1$，解得 $a=1,b=\frac{1}{3}$，所以 $M^2\ge 1-\frac{1}{3}$，所以 $M\ge \frac{\sqrt{6}}{3}$

柯西不等式

柯西不等式算是除了平均值不等式之外最为常用的不等式了，它的形式如下：

$$(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2$$

其中 $a_i,b_i$ 为实数，当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时等号成立。

例1：已知 $x,y>0$ 且 $x^2+4y^2+4xy+4x^2{y}^2=32$， 求 $\sqrt{6}(x+2y)+2xy$ 的最大值。
题目给的条件和要求的式子形式都很明确，所以我们可以直接对 $\sqrt{6}(x+2y)+2xy$ 使用柯西不等式。

$$\sqrt{6}(x+2y)+2xy\le \sqrt{(6+1)[(x+2y{)}^2+4x^2{y}^2]}$$

由条件可得

$$\sqrt{(6+1)[(x+2y{)}^2+4x^2{y}^2]}=\sqrt{7\cdot 32}=4\sqrt{14}$$

柯西不等式也能解决一些双根式和的问题，比如下面这个例子：
例2：求 $\sqrt{1-3x}+\sqrt{2x}$ 的最大值
平方得：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& (\sqrt{1-3x}+\sqrt{2x}{)}^2& =(\sqrt{1-3x}+\sqrt{\frac{2}{3}\cdot 3x}{)}^2\text{(7)}& & \le (1+\frac{2}{3})[1-3x+3x]\text{(8)}& & =\frac{5}{3}\end{array}$$